סטודנטים יקרים. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט.On-line

1 סטודנטים יקרים לפניכם תרגילים בקורס ספר מבוא לסטטיסטיקה והסתברות א'. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט.On-line הקורס באתר כולל פתרונות מלאים לספר התרגילים, וכן את התיאוריה הרלוונטית לכל נושא ונושא. הקורס כולו מוגש בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי, לדוגמה לחצו כאן. את הקורס בנה מר ברק קנדל, מרצה מבוקש במוסדות אקדמיים שונים ובעל ניסיון עתיר בהוראת המקצוע. אז אם אתם עסוקים מידי בעבודה, סובלים מלקויות למידה, רוצים להצטיין או פשוט אוהבים ללמוד בשקט בבית, אנחנו מזמינים אתכם לחוויית לימודים יוצאת דופן וחדשה לחלוטין, היכנסו עכשיו לאתר.www.gool.co.il אנו מאחלים לכם הצלחה מלאה בבחינות צוות האתר GooL

תוכן פרק 1 - סטטיסטיקה תיאורית- סיווג משתנים וסולמותמדידה... 3 פרק - סטטיסטיקה תיאורית- הצגהשל נתונים... 8 פרק 3 - סטטיסטיקה תיאורית- גבולותמדומים פרק 4 - סטטיסטיקה תיאורית וגבולות אמתיים...16 - סכימה 18... פרק 5 - סטטיסטיקה תיאורית- מדדימיקוםמרכזי...1 פרק 6 - סטטיסטיקה תיאורית- מדדי פיזור: הטווח, השונות וסטייתהתקן... 30 פרק 7 - סטטיסטיקה תיאורית- מדדיפיזור- טווח פרק 8 - סטטיסטיקה תיאורית- מדדימיקוםיחסי פרק 9 - סטטיסטיקה תיאורית- מדדימיקוםיחסי- אחוזונים בין- רבעוני...35 - ציוןתקן 38... במחלקות...41 פרק 10 - סטטיסטיקה תיאורית- מדדימיקוםיחסי- אחוזונים בטבלת שכיחויות בדידה...46 פרק 11 - סטטיסטיקה תיאורית- טרנספורמציה לינארית...49 פרק 1 - סטטיסטיקה תיאורית- שאלותמסכמות... 5 פרק 13 - מדדיקשר- מדדהקשרהלינארי (פירסון)... 61 פרק 14 - מדדיקשר- רגרסיה ליניארית... 70 פרק 15 - בעיות בסיסיות בהסתברות... 73 פרק 16 - פעולות בין מאורעות (חיתוךואיחוד), מאורעות זריםומכילים...78 פרק 17 - קומבינטוריקה - כלל המכפלה...89 פרק 18 - קומבינטוריקה- תמורה - סידור עצמיםבשורה...93 פרק 19 - קומבינטוריקה - דגימהסידוריתללא החזרה ועם החזרה...97 פרק 0 - קומבינטוריקה - דגימהללאסדר פרק 1 - הסתברות מותנית - במרחב מדגם וללא החזרה...100 אחיד...104 פרק - הסתברות מותנית - מרחבלא אחיד...107 פרק 3 - דיאגרמת עצים, נוסחתבייסונוסחת ההסתברות השלמה...111 פרק 4 - תלותואי תלות בין מאורעות...117 פרק 5 - שאלות מסכמות בהסתברות...11

3 פרק - 1 סטטיסטיקה תיאורית - סיווג משתנים וסולמות מדידה רקע: סטטיסטיקה תיאורית הוא ענף בו לומדים כיצד לאסוף נתונים, להציג אותם ולנתח אותם. בסטטיסטיקה תיאורית אנו פונים לקבוצה מסוימת. באותה קבוצה אנו אוספים נתונים על הישויות באותה קבוצה. משתנה תכונה שיכולה לקבל מספר ערכים : דעה פוליטית, מקום מגורים, גובה של אדם וכדומה. חלוקה אחת של המשתנים הנמדדים היא לפי סולמות מדידה: מיון משתנים לפי סולמות המדידה: 1. סולם שמי (נומינאלי) משתנה שלערכיו יש משמעות רק מבחינת הזהות ואין עניין של יותר או פחות לדוגמה: מצב משפחתי רווק/נשוי/אלמן/גרוש; אזור מגורים. משתנה דיכוטומי ) הינו מסולם שמי) אותם משתנים שיש להם רק שני ערכים אפשריות זכר/נקבה. מעשן/לא מעשן. סולם סדר (אורדינאלי) כאשר לערכים של המשתנה בנוסף לשם לסדר אבל אין משמעות לגודל ההפרש. למשל,דרגה בצבא. משמעות גם ישנה. סולם רווחים (אינטרוולי) משתנה שלערכים שלו בנוסף לשם ולסדר בניהם יש משמעות לרווחים בין הערכים אבל אין משמעות ליחס בין הערכים. למשל, קומה בבניין. סולם לא כל כך פופולרי..3 סולם מנה/יחס משתנה שלערכיו בנוסף לשם, לסדר ולרווח יש משמעות גם ליחס בין הערכים. למשל, מספר מכוניות למשפחה, משקל אדם בק"ג. הדרך הקלה ביותר כדי לזהות עם הסולם הוא סולם מנה היא על ידי מבחן האפס. בסולם מנה האפס הוא מוחלט, אבסולוטי, ומייצג אין..4

4 נבצע סיווג של המשתנים : סוגי משתנים: משתנה איכותי הוא משתנה שלערכיו אין משמעות של יותר או פחות, אין עניין כמותי לערכים המתקבלים. כמו : מקום מגורים של אדם (רעננה, תל אביב, אשדוד..) מין האדם (זכר, נקבה) מצב משפחתי ) רווק, נשוי, גרוש,אלמן) משתנה כמותי הוא משתנה שערכיו הם מספרים להם יש משמעות כמותית כמו : גובה אדם בס"מ, ציון בבחינה וכדומה. את המשתנה הכמותי נסווג לשני סוגים: משתנה בדיד : משתנה שערכיו מתקבלים מתוך סידרה של ערכים אפשריים.כמו: מספר ילדים למשפחה (1,,3..) ציון בבחינה ) מ 0 ועד 100 בקפיצות של ( 1 משתנה רציף: משתנה שערכיו מתקבלים מתוך אינסוף ערכים בתחום מסוים, הערכים מתקבלים ברצף וללא קפיצות של ערכים. כמו: גובה בס"מ אם למשל, הגובה הנמוך ביותר הוא 150 ועד 190 ס"מ בקבוצה הגבהים הם ברצף. גם בין 160 ל 161 ס"מ יש רצף אינסופי של ערכים אפשריים לגובה (16.33 ס"מ הוא גם גובה אפשרי ( משקל בק"ג, מהירות בקמ"ש וכולי. כמותי איכותי רציף בדיד

5 תרגילים: לפניכם רשימה של משתנים: א. ג. ד. ה. ו. ז. ח. ט. גובה אדם בס"מ. מספר ילדים למשפחה. מידת חרדה לפני מבחן. שביעות רצון משירות לקוחות בסקלה מ 1 השכלה. מספר אוטובוס. מקום מגורים. מין ( 1 =גבר ו- =אישה). מידת נעליים. עד ) 7 1 כלל לא מרוצה עד 7 מרוצה מאד).1 ציינו באיזה סולם מדידה המשתנה הנחקר ) שמי, סדר, רווחים או מנה) להלן התפלגות מספר האיחורים לעבודה בחודש של העובדים בחברת "סטאר". בחברה 00 עובדים. מספר האיחורים מספר העובדים 17 0 3 1 85 50 3 5 4. א. מהו המשתנה הנחקר כאן? האם מדובר במשתנה איכותי או כמותי? אם הוא כמותי האם הוא בדיד או רציף? באיזה סולם מדידה המשתנה? לפניכם רשימה של משתנים כמותיים. ציין ליד כל משתנה אם הוא רציף או בדיד. שכר עובד בש"ח. א. ציון בחינת בגרות. תוצאה בהטלת קובייה. ג. מהירות ריצה בתחרות. ד. שיעור התמיכה בממשלה. ה..3

6 איזו טרנספורמציה שומרת על סולם מספרי האוטובוסים של "אגד"? טרנספורמציה שומרת סדר. א. טרנספורמציה לינארית חיובית. טרנספורמציה שומרת יחס. ג. כל התשובות נכונות. ד..1

7 פתרונות:. ד 3. ג 4 ד.

8 פרק - סטטיסטיקה תיאורית - הצגה של נתונים רקע: דרכים להצגת נתונים שנאספו: א. רשימה של תצפיות: התצפית היא הערך שנצפה עבור ישות מסוימת בקבוצה. רושמים את התצפיות שהתקבלו כרשומה, יעיל שיש מספר מועט של תצפיות. ההצגה הזו רלבנטית לכל סוגי המשתנים. למשל, להלן מספר החדרים בבניין בן 5 דירות : 3 4 3 5 4 טבלת שכיחויות בדידה: f (X ) שםהמשתנה - X שכיחות שכיחות יחסית באחוזים f 1 100 N f 1 X 1 f 100 N f X f 3 100 N f 3 X 3 f k N 100 f k X k 100% N = k f i i= 1 סה"כ רושמים את התצפיות בטבלה שבה עמודה אחת מבטאת את ערכי המשתנה והשנייה את השכיחות. יעיל עבור משתנה איכותי וכמותי בדיד וכשיש מספר רב של תצפיות. לא יעיל למשתנה כמותי רציף.

9 למשל, להלן התפלגות הציונים בכיתה מסוימת: f i n F i הציון -X מספר התלמידים השכיחות- f 0.08=/5 5 0.16=4/5 6 4 6 0.3=8/5 14 8 7 0.=5/5 19 5 8 0.16=4/5 3 4 9 0.08=/5 5 10 שכיחות מצטברת צבירה של השכיחויות: או שוות לערך. - השכיחות המצטברת נותנת כמה תצפיות קטנות F i שכיחות יחסית (פרופורציה) השכיחות מחולקת לכמות התצפיות הכללי : מהתצפיות בקבוצה שוות לערך. - איזה חלק f i n ג. טבלת שכיחויות במחלקות: משתמשים שהמשתנה כמותי רציף או כאשר יש מספר ערכים רב במשתנה הבדיד וטבלת שכיחויות תהיה ארוכה מידי. למשל, נתנו לקבוצת ילדים לבצע משימה מסוימת ובדקו את התפלגות זמן ביצוע המשימה בדקות. להלן ההתפלגות שהתקבלה: זמן בדקות 0.5-3.5 3.5-9.5 9.5-19.5 19.5-9.5 מספר הילדים 0 18 14 8

10 ד. דיאגרמת עוגה: זהו התיאור הגרפי של משתנה איכותי. בדיאגראמת עוגה כל ערך במשתנה מקבל "נתח" יחסי מהעוגה. הנתח בעוגה פרופורציוני לשכיחות היחסית של ערך המשתנה בנתונים. ה. דיאגרמת מקלות: הציר האופקי הוא הציר של המשתנה הציר האנכי של השכיחות הגובה של המקל מעיד על השכיחות. רלבנטי למשתנה כמותי בדיד. לא נהוג להשתמש בתיאור למשתנה איכותי וכמו כן לא למשתנה כמותי רציף. כמו כן בסולמות מדידה עבור משתנה מסולם סדר. התפלגות הציונים מספר התלמידים - f 9 8 7 6 5 4 3 1 0 5 6 7 8 9 10 הציון

11 ו. היסטוגרמה: ההיסטוגרמה היא הדרך הגרפית כדי לתאר טבלת שכיחויות במחלקות. רלבנטית למשתנה כמותי רציף. בהיסטוגרמה ציר האופקי הוא הציר של המשתנה וציר האנכי הוא הציר של הצפיפות. הצפיפות מחושבת בכל מחלקה על ידי חלוקת השכיחות ברוחב של כל המחלקה והיא נותנת את מספר התצפיות הממוצע בכל מחלקה ליחדה. אם המחלקות הן שוות ברוחב, ניתן לשרטט את ההיסטוגרמה לפי השכיחות ואין צורך בצפיפות. רוחב אמצע שכיחות מצטברת צפיפות X 6.6667 0 0 3 0.5-3.5 3 38 18 6.5 6 3.5-9.5 1.4 5 14 14.5 10 9.5-19.5 0.8 60 8 4.5 10 19.5-9.5 פוליגון- מצולעון: אם נחבר את אמצע קצה כל מלבן בקווים ישרים. נותן מראה חזותי לצורה של התפלגות המשתנה.

1 צורות התפלגות נפוצות התפלגות סימטרית פעמונית- רוב התצפיות במרכז וככל שנתרחק מהמרכז יהיו פחות תצפיות באופן סימטרי. למשל,ציוני.IQ ישנן התפלגויות סימטריות שאינן פעמוניות: התפלגות אסימטרית ימנית ) חיובית) רוב התצפיות מקבלות ערכים נמוכים ויש מיעוט הולך וקטן של תצפיות שמקבלות ערכים גבוהים קיצוניים. למשל,שכר במשק. התפלגות א-סימטרית ימנית או חיובית Mo Md X התפלגות אסימטרית שמאלית ) שלילית) רוב התצפיות מקבלות ערכים גבוהים ויש מיעוט הולך וקטן של תצפיות שמקבלות ערכים נמוכים קיצוניים. למשל, אורך חיים. התפלגות א-סימטרית שמאלית או שלילית X Md Mo

13 תרגילים: 1. בסקר צפייה בטלוויזיה התקבלו התוצאות הבאות: 5 צפו בערוץ הראשון, 5 צפו בערוץ 10, 75 צפו בערוץ השני, 50 צפו באחד מערוצי הכבלים ו - 5 לא צפו בטלוויזיה בזמן הסקר. א. רשמו את טבלת השכיחות ואת השכיחות היחסית. תארו את הנתונים באופן גרפי.. להלן נתונים על התפלגות המקצוע המועדף של תלמידי שכבה ו' בבית הספר "מעוף": מספר התלמידים 44 0 1 6 המקצוע מתמטיקה תנ"ך אנגלית היסטוריה א. מהו המשתנה הנחקר? מהי פרופורציית התלמידים שמעדיפים תנ"ך? 3. להלן התפלגות ההשכלה במקום עבודה מסוים: מספר העובדים 60 10 0 השכלה נמוכה תיכונית אקדמאית א. מהו המשתנה הנחקר? מאיזה סולם הוא? תארו את הנתונים באופן גרפי. 4. להלן רשימת הציונים של 0 תלמידים שנבחנו במבחן הבנת הנקרא: 7,6,8,9,10,6,4,5,8,7,6,7,6,8,9,6,7,8,5,6 א. מהו המשתנה? האם הוא בדיד או רציף? תאר את הרשימה בטבלת שכיחויות. ג. הוסף שכיחויות יחסיות לטבלה. ד. תאר את הנתונים באופן גרפי.

14 5. להלן היסטוגרמה המתארת את התפלגות הגבהים בס"מ של קבוצה מסוימת: צפיפות 3 1 155 160 165 170 180 190 גובה א. מהו המשתנה הנחקר? האם הוא בדיד או רציף? תאר את הנתונים בטבלת שכיחויות במחלקות. ג. הוסף שכיחות יחסית לטבלה. ד. הוסף את הצפיפות של כל מחלקה לטבלה. ה. מהי צורת ההתפלגות של הגבהים? 6. להלן התפלגות המשקל של קבוצה מסוימת בק"ג: משקל 40-45 45-50 50-60 60-65 65-70 מספר מקרים 10 0 30 0 10 א. תאר את ההתפלגות באופן גרפי. מה ניתן להגיד על צורת ההתפלגות?

15 7. להלן גיל המטופלים של ד"ר שוורץ בשנים : קנה מידה: 8 מטופלים= 10 0 30 40 50 גיל המטופל א. ג. ד. מה המשתנה הנחקר? האם הוא בדיד או רציף? מהי הקבוצה הנחקרת? תרגמו את ההסיטוגרמה לטבלת שכיחות. מהי הפרופורציה של המטופלים של ד"ר שוורץ בגילאים 0-30?

16 פרק - 3 סטטיסטיקה תיאורית - גבולות מדומים וגבולות אמתיים רקע: עבור משתנה רציף נהוג לתאר את הנתונים בטבלת שכיחויות במחלקות. הנתונים שנאספים הם ברמת דיוק מסוימת. לדוגמא משקל של בני אדם או משקל של יהלומים ישקלו ברמת דיוק שונה. גבולות מדומים: כאשר גבול עליון של מחלקה אחת שונה מגבול תחתון של המחלקה הבאה אז הגבולות הם גבולות מדומים. כשהגבולות מדומים ההפרש בין גבול תחתון של מחלקה לבין גבול עליון של המחלקה הקודמת יהיה רמת הדיוק. רמת הדיוק חייבת להיות קבועה אין אפשרות שחלק מהאנשים נדייק ברמה אחת ואת השאר ברמה אחרת. בגלל שהמשתנה הוא משתנה רציף כשננתח את הנתונים נעבור מגבולות מדומים לגבולות אמתיים. אם הנתונים יינתנו בגבולות מדומים נהפוך אותם תמיד לגבולות אמתיים. כיצד עוברים מגבולות מדומים לגבולות אמתיים? לוקחים את רמת הדיוק ומחלקים אותה ב- את התוצאה המתקבלת מוסיפים לגבולות העליונים ומפחיתים מהגבולות התחתונים. אם יתנו נתונים בגבולות מדומים אנחנו מוכרחים לעבור לגבולות אמתיים על מנת להמשיך ולנתח, אך אם הנתונים כבר יינתנו בגבולות אמתיים נשאיר אותם כמו שהם. דוגמה: (פתרון בהקלטה ( להלן התפלגות הגבהים בס"מ של תלמידי כיתה ח'. יש להעביר את הנתונים לגבולות אמתיים. f(x) X 0 130-139 5 140-149 30 150-159 0 160-169 10 170-189

17 תרגילים: להלן התפלגות של משתנה בהצגה של מחלקות. יש להעביר את הנתונים לגבולות אמתיים:.1 f(x) 54 3 154 54 X 500-590 600-690 700-790 800-890 להלן התפלגות המשקלים בק"ג של קבוצת אנשים מסוימת. יש לרשום את הנתונים בגבולות אמתיים.. מספר אנשים 18 4 5 19 משקל בק"ג 60-64 65-69 70-79 80-89

18 פרק - 4 סטטיסטיקה תיאורית - סכימה רקע: n i= 1 X i בסטטיסטיקה ישנה צורת רישום מקובלת כדי לרשום סכום של תצפיות: נסביר את צורת הרישום על ידי הדוגמה הבאה: i X i 1 3 4 5 5 0 1 3

19 תרגילים: בבניין 5 דירות, לכל דירה רשמו את מספר החדרים שיש בדירה (X) ומספר הנפשות החיות בדירה (Y)..1 Y 1 1 3 X 3 4 3 מספר דירה 1 3 4 5 חשבו: 3 i= 1 5 i= 1 4 i= 1 4 ( X ) i= 1 X Y i X X i i i i i X Y i i ( X ) ( Y ) i

0. נתון לוח ערכי המשתנים x i ו: y i כאשר: 6,,1,=i i x i y i 1 3 0 3 4 0 4-1 5 1-5 6 4 ונתונים הקבועים: =a 5=b חשבו את הנוסחאות הבאות: 6 4 y i i= 1 i= 1 6 i= 1 6 a x i y ( x i + yi ) i= 1 6 i= 1 x i + i a א. ג. ד. ה. 3. קבע לכל זהות אם היא נכונה: n n bx = b X i i= 1 i= 1 n i= 1 a= a n n n X i = X i i= 1 i= 1 ( ) i א. ג.

1 רקע: פרק - 5 סטטיסטיקה תיאורית - מדדי מיקום מרכזי המטרה במדדי המיקום המרכזי למדוד את מרכז ההתפלגות של התצפיות. השכיח MODE השכיח הוא הערך הנפוץ ביותר בהתפלגות. ברשימה : הערך החוזר על עצמו הכי הרבה פעמים. 7 9 4 8 4 10 6 בטבלת שכיחויות בדידה : הערך שהשכיחות שלו היא הגבוהה ביותר. f(x) 100 75 5 5 5 # תכניות החיסכון 0 1 3 4 בדיאגרמת מקלות : שיעור ה- X של המקל הגבוה ביותר. התפלגות הציונים 10 מספר התלמידים -f 8 6 4 0 5 6 7 8 9 10 הציון

בעוגה: הערך של הפלח הגדול ביותר. בטבלת שכיחויות במחלקות: אמצע המחלקה עם הצפיפות הגבוהה ביותר. התפלגות הציונים בכיתה. f(x) 0 10 18 15 15 X 0-60 60-70 70-80 80-90 90-100 בהיסטוגרמה : שיעור ה- X של אמצע המחלקה הגבוהה ביותר. להלן גיל המטופלים של ד"ר שוורץ בשנים : =8 0 30 40 50 60 כללי: יתכן שלהתפלגות יותר משכיח אחד. השכיח הוא מדד הרלבנטי לכל סוגי המשתנים. גיל המטופל

3 אמצע תחום (טווח) MIDRANGE min max הממוצע בין התצפית הגבוהה ביותר לתצפית הנמוכה ביותר. X MR= + X החציון - MEDIAN החציון הוא ערך שמחצית מהתצפיות קטנות או שוות לו ומחצית מהתצפיות גדולות או שוות לו. ברשימה: נסדר את התצפיות בסדר עולה. אם יש מספר אי זוגי של איברים מקומו של החציון יהיה התצפית שמיקומה : אם יש מספר זוגי של איברים החציון יהיה הממוצע של האיבר ה- כלומר שיש מספר אי-זוגי של תצפיות החציון יהיה : ושיש מספר זוגי של תצפיות החציון יהיה : n+ 1 n md = X n + 1 X md = n + X n + 1 בטבלת שכיחויות בדידה: נעשה תהליך דומה אך נעזר בשכיחות המצטברת. דיאגרמת מקלות: נמיר לטבלת שכיחויות בדידה במטרה למצוא את החציון. בטבלת שכיחויות במחלקות: שלב א : נימצא את המחלקה החציונית שמיקומה יהיה שלב ב: נציב בנוסחה הבאה : n. והאיבר ה- + 1 n Md = L + 0 n F( xm 1) ( L1 L0 ) f ( x ) m - )F xm שכיחות מצטברת של מחלקה אחת לפני המחלקה החציונית. 1) - f ( x m ) השכיחות של המחלקה החציונית. -גבול התחתון של המחלקה. -גבול העליון של המחלקה. היסטוגרמה: החציון הוא הערך על ציר ה- X שמחלק את ההיסטוגרמה לשני חלקים שווים בשטח. כללי: החציון אינו רלבנטי למשתנה מסולם שמי ולא רלבנטי למשתנה איכותי.

4 הממוצע: הנו מרכז הכובד של ההתפלגות. ברשימה : x = n i= 1 n x i בטבלת שכיחויות : x = x f n במחלקות : נשתמש באותה נוסחה רק נתייחס לאמצע המחלקה בתור ה X. הממוצע הזה יהיה ממוצע מקור כללי: הממוצע רלבנטי רק למשתנה כמותי. מדדי המיקום המרכזי בהתפלגויות המיוחדות: בהתפלגות סימטרית פעמונית כל מדדי המרכז שווים זה לזה: התפלגות סימטרית x Md Mo בהתפלגות סימטרית השכיח לא חייב להיות במרכז: התפלגותU Mo 1 X Mo Md בהתפלגות אסימטרית התפלגות א-סימטרית ימנית או חיובית התפלגות א-סימטרית שמאלית או שלילית X Md Mo Mo Md X

5 תרגילים: להלן רשימת הציונים של 0 תלמידים שנבחנו במבחן הבנת הנקרא: 7,6,8,9,10,6,4,5,8,7,6,7,6,8,9,6,7,8,5,6 חשב את החציון, השכיח, והממוצע של הציונים..1. בדקו את מספר החדרים לדירה בבניין בן 5 דירות והתקבל ממוצע 3.8. 4,3,4,5 לגבי 4 דירות נמצא מספר חדרים : א. כמה חדרים יש בדירה החמישית? מהו השכיח ומהו החציון? 3. להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה שנספרו עבור כל משפחה בישוב מסוים: מספר משפחות מספר מקלטים 0 1 3 4 8 18 10 ג. ד. חשב את הממוצע, החציון והשכיח של ההתפלגות. הסבר ללא חישוב כיצד כל מדד שחישבת בסעיף א' היה משתנה אם חלק מהמשפחות (לא כולן) שלא היה להם עד היום טלוויזיה היו רוכשים מקלט אחד. 4. להלן התפלגות מספר המכוניות למשפחה בישוב "הגורן" 5 4 3 מספר מכוניות למשפחה 1 55 140 0 150 65 שכיחות א. כמה משפחות יש בישוב? מה אחוז המשפחות בישוב עם לכל היותר מכוניות? חשבו את הממוצע, החציון והשכיח. ג. הקפידו להסביר לגבי כל סעיף מה משמעות התוצאה שקיבלתם!

6 5. מורה לימד כיתות, הוא תיאר באותה מערכת צירים את התפלגות הציונים בכל כיתה. 1 בחר בתשובה הנכונה: א. בכיתה 1 השכיח גבוה יותר מכיתה. ג. ד. בכיתה השכיח גבוה יותר מכיתה 1. בשתי הכיתות אותו שכיח. לא ניתן לדעת באיזו כיתה השכיח גדול יותר. 6. ביישוב מסוים בדקו לכל משפחה את מספר הטלוויזיות שיש לה בבית. ביישוב גרות 00 משפחות. בממוצע יש למשפחה 1.5 טלוויזיות. מספר טלוויזיות מספר משפחות 8 0 6 1 3 א. השלימו את הטבלה. ג. מהו השכיח, אמצע טווח והחציון. חלק מהמשפחות להן הייתה טלוויזיה אחת בדיוק הוציאו את הטלוויזיה מביתם, כיצד כל מדד ישתנה (יגדל, יקטן או לא ישתנה) הסבירו ללא חישו

7 7. להלן התפלגות המשקל של קבוצה מסוימת בק"ג: משקל 40-45 45-50 50-60 60-65 65-70 מספר מקרים 10 0 30 0 10 מה הממוצע והחציון של ההתפלגות? 8. להלן התפלגות הגבהים בס"מ בקבוצה מסוימת. שכיחות 30 40 60 70 40 גובה בס"מ 150-160 160-170 170-175 175-180 180-190 חשב את הממוצע, החציון והשכיח של הגבהים בקבוצה זו.

8 9. בפקולטה מסוימת בדקו לסטודנטים העובדים בה את השכר לשעת עבודה. להלן התוצאות: צפיפות 5 4 3 1 0 30 40 50 60 100 א. מצא את השכיח בהתפלגות. ג. ד. מצא את החציון בהתפלגות. הסבירו ללא חישוב האם הממוצע גדול/קטן /שווה לחציון. הסתבר שיש להוציא מספר תלמידים במחלקה בין 0-30 שקלים כיצד הדבר ישפיע על הממוצע, החיצון והשכיח? הסבירו ללא חישו

9 פתרונות: שאלה 1: החציון: 7 השכיח: 6 הממוצע: 6.9 שאלה : א. 3 שכיח: 3,4 שאלה 3: א. הממוצע: 1.7 החציון : 1.5 השכיח: 1 חציון: 4 הממוצע יגדל ויתר המדדים לא ישתנו. שאלה 4: א. 630 34.13% ג. שכיח וחציון: 3 ממוצע:.95 שאלה 5 : תשובה :ב : 6 שאלה ב חציון: שאלה 7: שכיח: חציון וממוצע :55 אמצע טווח : 1.5

30 - מדדי פיזור: הטווח, השונות וסטיית התקן פרק - 6 סטטיסטיקה תיאורית רקע: המטרה : למדוד את הפיזור של הנתונים כלומר כמה הם רחוקים זה מזה ושונים זה מזה. R= X X max min הטווח\תחום :RANGE ההפרש בין התצפית הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר : שונות וסטיית תקן: השונות היא ממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע וסטיית התקן היא שורש של השונות. s s n n ( xi x) xi i= 1 i= 1 x = = x n n עבור סדרת נתונים: דוגמה : נחשב את השונות של סדרת המספרים הבאה : 5,4,9 ( x x) f x f x = = x n n עבור טבלת שכיחויות: להלן התפלגות הציונים בכיתה מסוימת בה ממוצע הציונים הוא 7.44 s x 1430 f 50 144 39 30 34 00 הציון -X השכיחות- f x f ( x) x x x x 4 8 5 4 5 6 7 8 9 10 סה"כ 1430 = = 7.44 = 1.8464 n 5 s= s = 1.8464 = 1.3588 כשיש מחלקות נעזר באמצע המחלקה כדי לחשב את השונות.

31 תרגילים: 1. להלן רשימת הציונים של 0 תלמידים שנבחנו במבחן הבנת הנקרא: 7,6,8,9,10,6,4,5,8,7,6,7,6,8,9,6,7,8,5,6 חשבו את השונות, סטיית התקן והטווח של הציונים.. להלן התפלגות מספר המכוניות למשפחה בישוב "הגורן" 5 4 3 מספר מכוניות למשפחה 1 55 140 0 150 65 שכיחות א. חשבו סטיית התקן. חשבו את הטווח של הנתונים. הקפידו להסביר לגבי כל סעיף מה משמעות התוצאה שקיבלתם! בחברה העוסקת בטלמרקטינג בדקו עבור כל עובד את מספר שנות הוותק שלו. התקבל שממוצע שנות הוותק הוא 4 שנים וסטיית התקן היא שנתיים. א. האם הממוצע יגדל/יקטן/לא ישתנה וסטיית התקן תגדל/תקטן/לא תשנה כאשר יתווספו שני עובדים עם וותק של 4 שנים להתפלגות?.3 האם הממוצע יגדל/יקטן/לא ישתנה וסטיית התקן תגדל/תקטן/לא תשנה כאשר יתווספו שני עובדים אשר אחד עם וותק של 0 שנים והשני עם וותק של 8 שנים להתפלגות? 4. נתונה רשימה של 5 תצפיות, אך רק עבור 4 מהן נרשמו הסטיות שלהן מהממוצע: 1-, 3,,. חשב את השונות של חמש התצפיות.

3 5. בשכונה בדקו בכל דירה את מספר החדרים לדירה. בשכונה 00 דירות. פרופורציה מספר חדרים 0.1 1 0. 0.4 3 0.15 4 5 א. מה הממוצע של מספר החדרים לשכונה בדירה? חשבו את סטיית התקן של מספר החדרים לדירה. ג. חלק מבעלי הדירות בנות החדרים הפכו את דירתם לדירת חדר. כיצד הדבר ישפיע (יקטין, יגדל, לא ישנה) כל מדד שחישבתם בסעיפים הקודמים. 6. להלן התפלגות המשקל של קבוצה מסוימת בק"ג: מספר מקרים משקל 10 40-45 0 45-50 30 50-60 0 60-65 10 65-70 מהי סטיית התקן של התפלגות המשקל?

33 7. להלן התפלגות הציונים במבחן אינטליגנציה: =1 נבחנים 70 80 90 100 110 10 130 X הציון א. ג. מה הממוצע ומה החציון של ההתפלגות? חשבו את סטיית התקן של הציונים. מסתבר שיש להוסיף 0 תצפיות לכל אחת משתי המחלקות 90-100 ו- 100-110. כיצד הדבר ישתנה את כל אחד מהמדדים של הסעיפים הקודמים?

34 פתרונות : שאלה 1: השונות :.19 סטיית תקן : 1.48 טווח : 6 שאלה : א. סטיית תקן :1.106 טווח 4 שאלה 3: א. ממוצע לא ישתנה, סטיית התקן תקטן. ממוצע לא ישתנה, סטיית התקן תגדל. שאלה 4: 10.8 שאלה 5: א. 3.05 1.16 שאלה 6: 7.73 שאלה : 7 א. 100 1.96

35 פרק - 7 סטטיסטיקה תיאורית - מדדי פיזור- טווח בין- רבעוני רקע: הטווח הבין-רבעוני נותן את הטווח בין הרבעונים בו נמצאים 50% מהתצפיות המרכזיות. שלבים במציאת טווח בין-רבעוני במחלקות: F 56 106 154 190 00 L L רוחב 1 0 מספר שנות ותק 0.5 4.5 4.5 9.5 9.5 11.5 11.5 14.5 14.5 19.5 f מספר עובדים (שכיחות) 56 50 48 36 10 4 5 3 5 Q = L + 1 0 שלב א : נימצא את הרבעון התחתון ) האחוזון ה 5 ( והרבעון העליון ) האחוזון ה- ). 75 n 4 3n 4 n F( xm 1) 4 ( L1 L0 ) ; Q3 = L0 + f ( x ) m מיקום הרבעון התחתון יהיה: מיקום הרבעון העליון יהיה: נוסחאות הרבעונים יהיו: 3n F( xm 1) 4 ( L1 L0 ) f ( x ) m IQR= Q Q 3 1 שלב ב : נחסר את הרבעונים:

36 תרגילים: 1. להלן התפלגות המשקל של קבוצה מסוימת בק"ג: משקל 40-45 45-50 50-60 60-65 65-70 מספר מקרים 10 0 30 0 10 מצא את הטווח הבין-רבעוני.. להלן היסטוגרמה המתארת את התפלגות הגבהים בס"מ של קבוצה מסוימת: אנשים 5= 155 160 165 170 180 190 גובה מצא את הטווח הבין-רבעוני.

37 פתרונות: שאלה 1: 13.75 שאלה : 13.33

38 פרק - 8 סטטיסטיקה תיאורית - מדדי מיקום יחסי - ציון תקן רקע: המטרה למדוד איך תצפית ממוקמות יחסית לשאר התצפיות בהתפלגות. ציון תקן: Z = X S X הנוסחה לציון תקן של תצפית היא : ציון התקן נותן כמה סטיות תקן סוטה התצפית מהממוצע. כלומר, ציון התקן מעיד על כמה סטיות תקן התצפית מעל או מתחת לממוצע. ציון תקן חיובי אומר שהתצפית מעל הממוצע. ציון תקן שלילי אומר שהתצפית מתחת לממוצע. ציון תקן אפס אומר שהתצפית בדיוק בממוצע. דוגמה : ) פתרון בהקלטה ( במקום עבודה מסוים ממוצע המשכורות 8 אלפי עם סטית תקן של אלפי באותו מקום עבודה ההשכלה הממוצעת של העובדים הנה 14 שנים עם סטית תקן של 1.5 שנים. ערן מרוויח במקום עבודה זה 11 אלף והשכלתו 16 שנים. מה ערן יותר באופן יחסי משכיל או משתכר?

39 תרגילים תלמידי כיתה ח' ניגשו למבחן בלשון ולמבחן במתמטיקה. להלן התוצאות שהתקבלו:.1 המקצוע ממוצע סטיית תקן 1 16 74 80 לשון מתמטיקה עודד קיבל: 68 בלשון ו 70 במתמטיקה. א. באיזה מקצוע עודד טוב יותר באופן יחסי לשכבה שלו? איזה ציון עודד צריך לקבל במתמטיקה כדי שיהיה שקול לציונו בלשון? במפעל לייצור מצברים לרכב בדקו במשך 40 ימים את התפוקה היומית ) מספר מצברים במאות) ואת מספר הפועלים שעבדו באותו היום. להלן טבלה המסכמת את האינפורמציה שנאספה על שני המשתנים: ממוצע סטיית תקן תפוקה 48 מספר פועלים 15 10. באחד הימים מתוך כלל הימים שנבדקו התפוקה הייתה 50 מאות מצברים ובאותו היום עבדו 13 פועלים. מה יותר חריג באותו היום יחסית לשאר הימים שנבדקו נתוני התפוקה או כמות הפועלים? בחר בתשובה הנכונה. א. התפוקה. כמות הפועלים. ג. חריגים באותה מידה. ד. חסרים נתונים כדי לדעת זאת. א. 3. הגובה הממוצע של המתגייסים לצבא הוא 175 סנטימטר עם סטיית תקן 10 סנטימטר. המשקל הממוצע 66 ק"ג עם סטיית תקן 8 ק"ג. ערן התגייס, גובהו 180 ס"מ ומשקלו 59 ק"ג. במה ערן חריג יותר ביחס לשאר המתגייסים- גובהו או משקלו? כמה ערן אמור לשקול כדי שמשקלו יהיה שקול לגובהו?

40 פתרונות: שאלה 1: א. לשון 7 שאלה : תשובה ב שאלה 3: א. משקל 70

41 פרק - 9 סטטיסטיקה תיאורית - מדדי מיקום יחסי - אחוזונים במחלקות רקע: האחוזון (המאון ( ה- p הוא הערך בנתונים המחלק את הנתונים בצורה כזאת שעד אליו יש % p מהנתונים. מסמנים את האחוזון ה- X. p - בp למשל, המאון ה- 5 הוא האחוזון ה- 5 או הרבעון התחתון : ערך ש- רבע מהתצפיות קטנות np. 100 X 0.5 ממנו והשאר גבוהות ממנו. מסומן : מציאת מאון במחלקות: שלב א: נימצא את המחלקה הרלבנטית שמיקומה יהיה n p F( xm 1) x = L + 100 ( L L ) p 0 1 0 f ( xm) שלב ב: נציב בנוסחה הבאה : - )F xm שכיחות מצטברת של מחלקה אחת לפני המחלקה הרלבנטית. 1) ) m - f ( x השכיחות של המחלקה הרלבנטית. גבול התחתון של המחלקה. גבול העליון של המחלקה. - - אם רוצים לחלץ את אחוז התצפיות שמתחת לערך מסוים נשתמש בנוסחה הבאה: ( x L0 ) 100 Px = f ( xm) + F( xm 1) ( L1 L0 ) n

4 דוגמה: (פתרון בהקלטה) להלן התפלגות השכר של עובדים בחברה מסוימת: שכר בש"ח 4000-6000 6000-10000 10000-15000 15000-0000 0000-40000 f(x) 140 18 60 54 18 א. מצאו את המאון ה- 40. מהו אחוז העובדים שמשתכרים מתחת ל 5,000?

43 תרגילים: 1. להלן התפלגות השכר (באלפי שקלים) בחברה: שכיחות מצטברת שכר X 48 6-10 100 10-15 10 15-0 13 0-30 136 30-60 א. ג. ד. ה. ו. חשבו את המאון ה- 60. מהו העשירון העליון? 0% מהמשכורות הגבוהות ביותר הן משכורות של הבכירים, מהי המשכורת המינימאלית לבכיר? מה אחוז האנשים שמשתכרים מתחת ל- 7000? איזה אחוז מהעובדים משתכרים מעל ל 5,000? איזה אחוז מהעובדים משתכרים בין 7000 ל- 5,000?. למבחן ניגשו 400 נבחנים. נתון שהעשירון התחתון הוא הציון 60. הרבעון העליון הוא הציון 80. כמו כן ההתפלגות של הציונים היא סימטרית. מלאו את השכיחות החסרות. ציון - X 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 f ( X )

44 3. להלן היסטוגרמה המתארת את התפלגות הגבהים בס"מ של קבוצה מסוימת: אנשים 5= 155 160 165 170 180 190 א. העשירון התחתון. האחוזון ה- 30. ג. הגובה ש- 0% מהתצפית גדולות ממנו. ד. את אחוז התצפיות מתחת לגובה 158 ס"מ. ה. את אחוז התצפיות מעל לגובה 185 ס"מ. ו. את אחוז התצפיות בין גובה 170 ס"מ ל- 185 ס"מ.

45 פתרונות: שאלה : 1 א. 13.3 ג. 17. ד. 8.8% ה. 7.36% ו. 83.8% שאלה 3: א. 16.5 170 ג. 183.33 ד. 3% ה. 15% ו. ת 55%

46 פרק - 10 סטטיסטיקה תיאורית - מדדי מיקום יחסי - אחוזונים בטבלת שכיחויות בדידה רקע: האחוזון (המאון ( ה- p הוא הערך בנתונים המחלק את הנתונים בצורה כזאת שעד אליו כולל יש % p מהנתונים. מסמנים את האחוזון ה- בp X. p - חישוב האחוזון מתוך נתונים בטבלת שכיחויות בדידה : האחוזון הוא הערך שבו בפעם הראשונה השכיחות היחסית המצטברת (באחוזים) גדולה או שווה ל- %p. דוגמה: (פתרון בהקלטה) בסניף בנק 50 לקוחות. ספרו לכל לקוח את מספר תכניות החיסכון שלו: # תכניות החיסכון f(x) שכיחות מצטברת שכיחות יחסית מצטברת 100 75 5 5 5 0 1 3 4 מצא את האחוזון ה- 5. מצא את הערך ש- 0% מהמקרים מעליו.

47 תרגילים: 1. להלן התפלגות של משתנה כלשהו. f(x) 10 40 30 15 5 X 0 1 3 4 מצא להתפלגות את: האחוזון ה- 60. המאון ה- 40. העשירון העליון. הטווח בין הרבעונים.. להלן התפלגות מספר המכוניות למשפחה בישוב "הגורן" 5 4 3 מספר מכוניות למשפחה 1 55 140 0 150 65 שכיחות חשבו את: א. העשירון התחתון. האחוזון ה- 30. ג. הערך ש- 0% מהתצפית גדולות ממנו. ד. רבעון עליון.

48 פתרונות: שאלה א. 1 ג. 4 ד. 4

49 פרק - 11 סטטיסטיקה תיאורית - טרנספורמציה לינארית רקע: מצב שבו מבצעים שינוי מסוג הוספה של קבוע ) או החסרה ( והכפלה של קבוע ) או חילוק) לכל y= a x+ התצפיות: b וכך יושפעו המדדים השונים: MRy = a MR+ b Moy = a Mo+ b מדדי המרכז: y= a x+ b Md = a Md + b R y y = a R X x מדדי הפיזור: s y = a s x p s = a s y x Y = a X + b p מדדי המיקום היחסי: Z Y a = Z a X שלבי העבודה: נזהה שמדובר בטרנספורמציה לינארית ) שינוי קבוע לכל התצפיות). נרשום את כלל הטרנספורמציה לפי נתוני השאלה. נפשט את הכלל ונזהה את ערכי a ו b. נציב בנוסחאות שלעיל בהתאם למדדים שנשאלים..1..3.4 דוגמה: (פתרון בהקלטה) השכר הממוצע של עובדים הנו 9000 וטווח 6000 חשבו את המדדים הללו לאחר שהעלו את כל המשכורות ב- 10% ואחר כך קנסו אותם ב 100.

50 תרגילים: עבור סדרת נתונים התקבל: X = 80 S = 15 MO= 70 הוחלט להכפיל את כל התצפיות פי- 4 ולהחסיר מהתוצאה 5. חשב את המדדים הללו לאחר השינוי..1 בחברה מסוימת השכר הממוצע הוא 40 לשעה עם סטיית תקן של 5 לשעה. הוחלט להעלות את כל המשכורות ב-, 10% אך זה לא סיפק את העובדים ולכן הם קיבלו לאחר מכן תוספת של לשעה. מה הממוצע ומהי השונות של השכר לשעה לאחר כל השינויים.. 3. במבחן הציון החציוני היה 73, טווח הציונים היה 40 נקודות. והעשירון העליון היה הציון 87. כיוון שהציונים בבחינה היו נמוכים, המורה החליט לתת פקטור של 4 נק' לכל התלמידים. חשבו את המדדים לאחר הפקטור. 4. דגמו מקו ייצור 50 קופסאות של גפרורים. בדקו בכל קופסא בה יש 40 גפרורים את כמות הגפרורים הפגומים. קבלו שבממוצע יש 3 גפרורים פגומים בקופסא. עם סטיית תקן של 1.5 גפרורים. מה יהיה הממוצע ומה תהיה סטיית התקן של מספר התקנים בקופסא? 5. חברת בזק הציעה את החבילה הבאה: שלושים שקלים דמי מנוי חודשיים קבועים. ובנוסף 10 אגורות לכל דקה של שיחה יוצאת, אדם בדק במשך שנה את דקות השיחות היוצאות שלו, וקיבל שבממוצע בחודש יש לו 600 דקות שיחות יוצאות עם שונות 500 דקות רבועות, כמו כן בחודש ינואר ציון התקן היה. חשבו את המדדים הללו עבור חשבון הטלפון החודשי של אותו אדם בשקלים אם היה משתמש בחבילה המוצעת לו על ידי בזק. i i 6. הוכח שאם כל התצפיות בהתפלגות עברו טרנספורמציה לינארית : Y = a X + b אזי הממוצע והשונות של כלל התצפיות לאחר הטרנספורמציה יהיו בהתאמה: y= a x+ b s = a s y x

51 פתרונות : : 1 שאלה הממוצע: 315 סטיית התקן: 60 השכיח: 75 שאלה : הממוצע: 46 השונות: 30.5 שאלה : 4 ממוצע : 37 סטיית תקן : 1.5 : 3 שאלה טווח: 40 חציון: 77 עשירון עליון :91 שאלה 5: ממוצע : 90 שונות: 5 ציון תקן:

5 פרק - 1 סטטיסטיקה תיאורית - שאלות מסכמות 1. בדקו עבור 5 תלמידים את המשקל שלהם : משקל בק"ג מספר תלמיד 58 1 6 48 3 34 4 58 5 א. ג. ד. ה. מהו המשתנה הנחקר? האם הוא בדיד או רציף? מהו המשקל החציוני, הממוצע והשכיח? מה הטווח וסטיית התקן של המשקל? לאותם תלמידים חישבו גם את הגובה בס"מ וקיבלו גובה ממוצע של 168 וסטיית תקן 6. במה תלמיד מספר 3 שגובהו 16 יותר חריג במשקל או בגובה? הוסיפו עוד תלמיד השוקל 5 ק"ג בדיוק. הסבירו ללא חישוב כיצד הדבר ישפיע על הממוצע וסטיית התקן? ) יגדיל יקטין או לא ישנה). בפקולטה להנדסה אספה מזכירות הסטודנטים נתונים לגבי מס' הקורסים שכל סטודנט סיים בשנה הראשונה ללימודיו בשנת 008. להלן התוצאות שהתקבלו: 60 50 מספר הסטודנטים 40 30 0 10 0 1 3 4 5 6 מספר הקורסים א. מה המשתנה הנחקר? האם הוא בדיד או רציף? מהי צורת ההתפלגות? ג. תאר את הנתונים בטבלת שכיחויות. ד. חשב את השכיח, החציון והטווח.

53 3. להלן התפלגות הציונים בבחינה בלשון שנעשתה עבור תלמידי כיתות ד'. השתתפו במחקר 150 תלמידים. ממוצע הציונים שהתקבל: 1 7 = X 15 ציון 4 5 6 7 8 9 10 מספר התלמידים 1 16 38 14 10 א. השלם את השכיחויות החסרות בטבלה. חשב את הציון החציוני, השכיח. ג. חשב שונות וסטיית תקן להתפלגות הציונים.

54 4. חברה סלולארית דגמה 00 אנשים. עבור כל אדם נבדקה מידת שביעות הרצון של הלקוח מהחברה( 1 שביעות רצון נמוכה ועד 5 שביעות רצון גבוהה) להלן ההתפלגות שהתקבלה: שביעות רצון 1 3 4 5 מספר האנשים 40 60 50 30 0 א. ג..i.ii.iii ד. מה אחוז האנשים עם רמת שביעות רצון נמוכה? מה המשתנה הנחקר ומאיזה סוג הוא? מהי הדרך הגרפית המתאימה ביותר לתיאור הנתונים? היסטוגרמה. דיאגרמת מקלות. דיאגרמת עוגה חשבו את המדדים הבאים: 1. טווח. שכיח 3. חציון

55 5. להלן התפלגות מספר שעות העבודה לשבוע של העובדים בחברת "סטאר". בחברה 00 עובדים. שכיחות שכיחות יחסית מספר שעות עבודה (פרופורציה) 15% 10-0 0% 0-30 30% 30-40 0% 40-50 50-60 א. השלם את הטבלה. חשב את החציון, השכיח, והממוצע של התפלגות מס' שעות העבודה בחברה. מהי סטיית התקן של מס' שעות העבודה? ג. מה העשירון העליון של ההתפלגות? ד. איזה אחוז מהעובדים עובדים מעל 45 שעות בשבוע? ה. מה ציון התקן של רינה שעובדת 30 שעות בשבוע? ו. כיצד ישתנה החציון, הממוצע וסטיית התקן אם מספר שעות העבודה המינימאלי אינו 10 ז. אלא 15? הסבר.

56 6. חברה סלולארית דגמה 00 אנשים. עבור כל אדם נבדק מס' המסרונים ששלח במשך חודש. להלן ההתפלגות שהתקבלה: מספר המסרונים 0-50 50-100 100-150 150-50 50 -ומעלה מספר האנשים 40 60 50 30 0 א. ג. ד. מה אחוז האנשים ששלחו פחות מ- 80 מסרונים בחודש? מה אחוז האנשים ששלחו בין 50 ל- 10 מסרונים? הוחלט להעניק מתנה עבור 1 4 מהלקוחות שמשתמשים במספר הרב ביותר של מסרונים בחודש. החל מאיזה כמות של מסרונים תחולק המתנה? ציינו איזה מדד ניתן לחשב ואיזה לא ניתן. אם ניתן חשב: 1. ממוצע. שכיח 3. חציון 4. שונות 7. נתנו לקבוצת ילדים לבצע משימה מסוימת ובדקו את התפלגות זמן ביצוע המשימה בדקות. להלן ההתפלגות שהתקבלה: זמן בדקות 0.5-3.5 3.5-9.5 9.5-19.5 19.5-9.5 מספר הילדים 0 18 14 8 א. ג. ד. שרטט היסטוגרמה לתיאור התפלגות זמן ביצוע המשימה. מתוך ההיסטוגרמה שבנית בסעיף א מהי צורת ההתפלגות? חשב את השכיח והחציון של ההתפלגות. הסבר, ללא חישובים, האם הזמן הממוצע לביצוע המשימה, קטן או גדול או שווה ביחס לשכיח ולחציון.

57 8. התפלגות ציוני מבחן אינטילגנציה היא סימטרית. הציון 50-70 70-90 90-100 100-110 110-130 130-150 מספר הנבחנים נתון שהעשירון העליון הוא 130 והרבעון התחתון הוא 90. נתון שלמבחן נגשו 500 מועמדים. א. השלימו את הטבלה. ג. ד. מהו הממוצע והחציון של ההתפלגות? מהו הציון ש 40% מהתלמידים קיבלו מעליו? באיזה אחוזון מדובר? אם יוחלט להעלות את כל הציונים ב- 10 נקודות. כיצד הדבר ישפיע על הממוצע וסטיית התקן של הציונים?. 9 להלן מספר טענות, עבור כל טענה ציין אם היא נכונה או לא נכונה ונמקו. א. ג. ד. ה. ו. ז. ח. בסדרה שבה כל התצפיות שוות זו לזו השונות הינה 0. ציון התקן של החציון תמיד יהיה 0. ציון התקן של האחוזון ה- 70 בהתפלגות אסימטרית ימנית (חיובית) תמיד יהיה חיובי. אם נוסיף תצפיות לסדרה של תצפיות, הדבר בהכרח יגדיל את הממוצע של הסדרה. בסדרה החציון הינו 80. הוספו שתי תצפיות אחת 79 ואחת 100 לכן החציון יגדל. אם נוסיף את הערך 4 לכל התצפיות אז סטיית התקן לא תשתנה. אם נחלק את כל התצפיות בהתפלגות ב- א ז השונות תקטן פי. אם נגדיל את ממוצע המשכורות של עובדים בחברה אז גם השונות תגדל.

58 פתרונות: 58 שאלה 1: א. המשתנה הנחקר כאן הוא משקל תלמיד בק"ג והוא משתנה כמותי רציף. X = 5 Md = X + X n 1 = 3 = השכיח הוא 58 ג. R= 8 s= 10.1 ד. הוא חריג יותר בגובה כי שם ציון התקן בערך מוחלט יותר גבוה. ה. הממוצע לא ישתנה אך סטיית התקן תקטן. שאלה : א. שמאלית ד. השכיח: 5 הטווח: 5 מספר הקורסים. בדיד. התפלגות אסימטרית שאלה 3 : א. 0 תלמידים קיבלו ציון 6 ו- 40 תלמידים קיבלו ציון 8. החציון: 7 השכיח: 8 ג. השונות:.533 סטיית התקן: 1.59 שאלה 4: א. 0% שביעות רצון ) סדר) ג. ד. טווח: 4 שכיח: חציון:.5 ה. חציון: 4

59 שאלה 5: החציון: 35 השכיח: 35 הממוצע: 35 ג. סטיית תקן: 1.65 ד. 53.333 ה. 5% ו. 0.395- ז. חציון לא ישתנה, ממוצע יגדל סטיית התקן תקטן. שאלה 6: א. 38% 40% ג. 150 ד. החציון : 100 שאלה 7: א. ההתפלגות היא א-סימטרית ימנית. ג. שכיח: חציון: 6.83 Mo< Md < X < MR ד. בהתפלגות א-סימטרית ימנית מתקיים

60 שאלה 8: א. ציון 50-70 70-90 90-100 100-110 110-130 130-150 מספר הנבחנים 50 75 15 15 75 50 100 104 ג. ד. הממוצע יעלה ב- 10 נקודות אך סטיית התקן לא תשתנה. שאלה 9: א. נכון לא נכון ג. לא נכון ד. לא נכון ה. לא נכון ו. נכון ז. לא נכון ח. לא נכון

61 פרק - 13 מדדי קשר - מדד הקשר הלינארי (פירסון) רקע: המטרה היא לבדוק האם קיים קשר (קורלציה, מתאם) של קו ישר בין שני משתנים כמותיים. מבחינת סולמות המדידה קשר בין סולמות רווחים ומנה. בדרך כלל, X הוא המשתנה המסביר (הבלתי תלוי) ו Y הוא המשתנה המוסבר (התלוי).למשל, נרצה להסביר כיצד השכלה של אדם הנמדדת בשנות לימוד X מסבירה את ההכנסה שלו Y. במקרה זה שנות ההשכלה זהו המשתנה המסביר ) או הבלתי תלוי ( ואנחנו מעוניינים לבדוק כיצד שינויים בשנות ההשכלה של אדם יכולים להסביר את השינויים שלו בהכנסה, ולכן רמת ההכנסה זהו המשתנה המוסבר התלוי במשתנה המסביר אותו. בשלב הראשון, נהוג לשרטט דיאגרמת פיזור. זו דיאגרמה שנותנת אינדיקציה ויזואלית על טיב הקשר בין שני המשתנים. למשל, בבניין של 5 דירות בדקו את הנתונים הבאים: X - מס' חדרים בדירה. Y- מס' נפשות הגרות בדירה. להלן התוצאות שהתקבלו: מס' דירה 1 3 4 5 X 3 4 3 5 Y 3 3 4 נשרטט מנתונים הללו דיאגרמת פיזור :

6 נתבונן בכמה מקרים של דיאגרמות פיזור וננתח אותן :

63 בשלב השני, מחשבים את מקדם המתאם ) מדד הקשר ( שבודק עד כמה קיים קשר לינארי בין שני המשתנים. המדד ) ניקרא גם מדד הקשר של פירסון) מכמת את מה שניראה בשלב הראשון רק בעין. המדד בודק את כיוון הקשר ) חיובי או שלילי). ואת עוצמת הקשר ) חלש עד חזק). מקדם מתאם זה מקבל ערכים בין -1 ל.1 מקדם מתאם 1 -. y= bx+ הנוסחה : a או 1 אומר שקיים קשר לינארי מוחלט ומלא בין המשתנים שניתן לבטאו על ידי מתאם חיובי מלא ) מקדם מתאם מתאם שלילי מלא אומר שקיים קשר לנארי מלא בו השיפוע 1) אומר שקיים קשר לנארי מלא בו השיפוע b יהיה חיובי ואילו b שלילי ) מקדם מתאם 1-). מתאם חיובי חלקי אומר שככל שמשתנה אחד עולה לשני יש נטייה לעלות בערכו אבל לא קיימת נוסחה לינארית שמקשרת את X ל- Y באופן מוחלט ואילו מתאם שלילי חלקי אומר שככל שמשתנה אחד עולה לשני יש נטייה לרדת אבל לא קיימת נוסחה לינארית שמקשרת את X ל- Y באופן מוחלט. ככל שערך מקדם המתאם קרוב לאפס נאמר שעוצמת הקשר חלשה יותר וככל שמקדם המתאם רחוק מהאפס נאמר שעוצמת הקשר חזקה יותר. מקדם המתאם יסומן באות. r

64 כדי לחשב את מקדם המתאם, יש לחשב את סטיות התקן של כל משתנה ואת השונות המשותפת. ( x x )( y y) xy COV ( x, y) = = x y n n s n n ( xi x) xi i= 1 i= 1 x = = x n n שונות משותפת : שונות של המשתנה X: S n n ( yi y) yi i= 1 i= 1 Y = = y n n שונות המשתנה Y: r xy cov( x, y) = s s x y מקדם המתאם הלינארי :

65 תרגילים: להלן נתונים לגבי שישה תלמידים שנגשו למבחן. בדקו לגבי כל תלמיד את הציון שלו בסוף הקורס וכמו כן את מספר החיסורים שלו מהקורס..1 מספר חיסורים 1 0 3 4 ציון 80 90 90 70 70 50 א. ג. שרטט דיאגראמת פיזור לנתונים. מה ניתן להסיק מהדיאגרמה על טיב הקשר ביו מספר החיסורים של תלמיד לציונו? מיהו המשתנה הבלתי תלוי ומיהו המשתנה התלוי? חשב את מדד הקשר של פירסון. האם התוצאה מתיישבת עם תשובתך לסעיף א'? הסבר ללא חישוב כיצד מקדם המתאם היה משתנה אם היה מתווסף תלמיד שהחסיר 4 פעמים וקיבל ציון 80? במחקר רפואי רצו לבדוק האם קיים קשר בין רמת ההורמון X בדם החולה לרמת ההורמון Y שלו. לצורך כך מדדו את רמת ההורמונים ההלו עבור חמישה חולים. להלן התוצאות שהתקבלו: x y 10 1 14 15 15 15 18 17 0 1 א. מה הממוצע של כל רמת הורמון? מהו מקדם המתאם בין ההורמונים? ומה משמעות התוצאה?.

66 3. נסמן ב- X את ההכנסה של משפחה באלפי. נסמן ב- Y את ההוצאות של משפחה באלפי. נלקחו 0 משפחות והתקבלו התוצאות הבאות: 0 i = 1 Y = 00 i 0 i = 1 X = 40 i 0 ( Y Y ) = 76 i i 1 0 ( X X ) = 76 i i 1 0 i = 1 ( X X )( Y Y ) = 60.8 i א. חשב את מדד הקשר הלינארי בין X ל- Y. מיהו המשתנה התלוי? מה המשמעות של התוצאה שקיבלת בסעיף א? 0 i = 1 0 i = 1 i 4. נסמן ב- X את ההכנסה של משפחה באלפי. נסמן ב- Y את ההוצאות של משפחה באלפי. נלקחו 0 משפחות והתקבלו התוצאות הבאות: Y = 00 i X = 40 0 i = 1 Y i = 080 0 i = 1 X Y i i 0 i 1 = 464 X i = 960 חשב את מדד הקשר הלינארי בין X ל- Y. 5. במוסד אקדמי ציון ההתאמה מחושב כך : מכפילים את הציון הממוצע בבגרות ב- 3 ומפחיתים נקודות. ידוע שעבור 40 מועמדים סטיית התקן של ממוצע הציון בבגרות הייתה. מה מקדם המתאם בין ציון ההתאמה לציון הממוצע בבגרות שלהם? א. ג. 6. להלן רשימת טענות, לגבי כל טענה קבע נכון/לא נכון ונמק! מתווך דירות המיר מחירי דירות מדולר לשקל. נניח שדולר אחד הוא. 3.5 אם מתווך הדירות יחשב את מדד הקשר של פירסון בין מחיר הדירה בשקלים למחיר הדירה בדולרים הוא יקבל 1. S X לסדרה של נתונים התקבל = 6 Y = S = 1 X = Y לכן מדד הקשר של פירסון יהיה 1. אם השונות המשותפת של X ושל Y הינה 0 אז בהכרח גם מקדם המתאם של פירסון יהיה 0. שאלות אמריקאיות:

67 7. נמצא שקיים מקדם מתאם שלילי בין הציון בעברית לציון בחשבון בבחינה לכן : א. הדבר מעיד שהציונים בכתה היו שליליים. ככל שהציון של תלמיד יורד בחשבון יש לו נטייה לרדת בעברית. ג. ככל שהציון של תלמיד עולה בחשבון יש לו נטייה לרדת בעברית. ד. אף אחת מהתשובות לא נכונה. 8. נלקחו 0 מוצרים וניבדק ביום מסוים המחיר שלהם בדולרים והמחיר שלהם בש"ח ) באותו היום ערך הדולר היה - 4. ( מהו מקדם המתאם בין המחיר בדולר למחיר בש"ח? א. 1 0 ג. 4. ד. לא ניתן לדעת. 9. להלן דיאגראמת פיזור : 8 7 6 5 4 3 1 0 0 4 6 8 10 1 מה יהיה מקדם המתאם בין שני המשתנים? 1 0.85 0.15 א. ג. ד. 0

68 פתרונות: שאלה 1: א. בהקלטה 0.935- שאלה : x= 15.4 y= א. 16 r xy = 0.96 שאלה 3: א : 0.8 שאלה 4: 0.8 שאלה 5: 1 שאלה 6: א. נכון לא נכון ג. נכון שאלה 7: התשובה: ג שאלה 8: התשובה: א שאלה 9: התשובה : ב

69 פתרונות : שאלה 1: א. בין הציון המילולי הישן לחדש :1 בין הציון המילולי החדש לכמותי :0.9 בין בין W ל ציון המילולי : 1- W לציון הכמותי :0.9- שאלה : 0.7 שאלה 3: התשובה: ב שאלה 4: התשובה: ב

70 פרק - 14 מדדי קשר - רגרסיה ליניארית רקע: במידה וקיים קשר חזק בין שני המשתנים הכמותיים נהוג לבצע ניבויי. לבנות קו ניבויים הנקרא גם קו רגרסיה המנבא משתנה אחד על סמך האחר. מדובר בקו שמנבא את Y על סמך X. השיטה למציאת הקו הנ"ל נקראת שיטת הריבועים הפחותים והקו המתקבל נקרא קו הרגרסיה או קו הניבויים או קו הריבועים הפחותים. - a בעצם נותן את ערך Y כאשר X הנו אפס על גבי קו הניבויים. הוא ניקרא החותך של הקו. - b הוא שיפוע הקו נותן בכמה בעצם Y משתנה כאשר X גדל ביחידה אחת על גבי קו הניבויים. להלן המשוואות למציאת הפרמטרים של קו הרגרסיה: Yɶ = bx + a SY b= r S a= Y bx X אם נרצה לבנות קו ניבויים לניבוי X על סמך Y נצטרך לעדכן את הנוסחאות בהתאם.

71 תרגילים: נסמן ב- X את ההכנסה של משפחה באלפי. נסמן ב- Y את ההוצאות של משפחה באלפי. נלקחו 0 משפחות והתקבלו התוצאות הבאות: 0 i = 1 Y = 00 i 0 i = 1 X = 40 i.1 0 ( Y Y ) = 76 i i 1 0 ( X X ) = 76 i i 1 0 i = 1 ( X X )( Y Y ) = 60.8 i א. ג. חשב את מדד הקשר הלינארי בין X ל- Y. מיהו המשתנה התלוי? מצא את קו הרגרסיה לניבוי ההוצאה של משפחה על סמך הכנסה שלה. הסבר את משמעות הפרמטרים של קו הרגרסיה. משפחת כהן הכניסה, 15,000 מה ההוצאה הצפויה שלה? נסמן ב- X את ההשכלה של אדם בשנות למוד. נסמן ב- Y את הכנסתו באלפי. במחקר התקבלו התוצאות הבאות: S = Y 5 S = X. Y = 8 X =14 COV ( X, Y ) = 7.5 א. ג. חשב את מדד הקשר של פירסון בין ההשכלה להכנסה. מה ההכנסה הצפויה לאדם שהשכלתו 1 שנים? מה ההשכלה הצפויה לאדם שהכנסתו? 10,000 א. ג. חוקר רצה לחקור את הקשר הקווי שבין הציון המבחן בסטטיסטיקה לבין מספר שעות ההכנה של הסטודנטים למבחן. במדגם של 100 סטודנטים שנבחנו בקורס נרשמו התוצאות הבאות : הציון הממוצע של הסטודנטים היה 65 עם סטיית תקן של 7. מספר שעות ההכנה הממוצע היה 30 עם סטיית תקן של 18. מקדם המתאם בין הציון לשעות ההכנה היה 0.8. על פי משוואת הרגרסיה שעת הכנה נוספת משפרת את ציון המבחן ב? על פי משוואת הרגרסיה תלמיד שייגש למבחן ללא שעות הכנה כלל יקבל ציון? מהו קו הרגרסייה לניבוי הציון לפי שעות ההכנה?.3 נתונים משתנים. Y,X כמו כן נתון : X ממוצע =,1.5 שונות = X שונות = Y 4,וכן שקו הרגסיה של Y על בסיס X הינו + 0.5 0.X-. =Y חשב מהו מקדם המתאם בין X ל Y?.4

7 פתרונות: שאלה 1 : א. 0.8 Yɶ = 0.8X + 0.4 1.4 ג. שאלה : א. 0.75 4.5 אלפי ש"ח ג. 14.6 שנים שאלה 3: א. 1. 9 ג. y=1.x+9 שאלה 4: -0.

73 פרק - 15 בעיות בסיסיות בהסתברות רקע : ניסוי מקרי : תהליך לו כמה תוצאות אפשריות. התהליך. למשל : תוצאה בהטלת קובייה, מזג האוויר בעוד שבועיים. התוצאה המתקבלת נודעת רק לאחר ביצוע מרחב מדגם : כלל התוצאות האפשריות בניסוי המקרי : בהטלת קובייה : }.{1,,3,4,5,6 מזג האוויר בעוד שבועיים: } נאה, שרבי, מושלג, גשום, מעונן חלקית, אביך { מאורע : תת קבוצה מתוך מרחב במדגם. מסומן באותיות...A,B,C,: A={5,6} B={,4,6} : בהטלת קובייה, למשל, לקבל לפחות 5 לקבל תוצאה זוגית : גודל מרחב המדגם : מספר התוצאות האפשריות במרחב המדגם: Ω = 6 בהטלת הקובייה : גודל המאורע : מספר התוצאות האפשריות במאורע עצמו. B = 3 A = בהטלת הקובייה : מאורע משלים : מאורע המכיל את כל התוצאות האפשריות במרחב המדגם פרט לתוצאות במאורע אותו הוא משלים: B= {1,3,5} בהטלת הקובייה : 4} {1,,3, A= מרחב מדגם אחיד ) סימטרי ( : מרחב מדגם בו לכל התוצאות במרחב המדגם יש את אותה עדיפות, אותה סבירות למשל, קובייה הוגנת, אך לא כמו מזג האוויר בשבוע הבא.

74 A p( A ) = Ω הסתברות במרחב מדגם אחיד : במרחב מדגם אחיד הסיכוי למאורע יהיה : A p( A ) = = Ω 6 B 3 p( B ) = = Ω 6 למשל, מה הסיכוי בהטלת קובייה לקבל לפחות 5? מה הסיכוי בהטלת קובייה לקבל תוצאה זוגית? הסתברות במרחב לא אחיד : f n יחושב לפי השכיחות היחסית : להלן התפלגות הציונים בכיתה מסוימת : הציון -X 5 6 7 8 9 10 מספר התלמידים השכיחות- f 4 8 5 4 f 5 0. n = 5 = א. מה ההסתברות שתלמיד אקראי שניבחר בכיתה קיבל את הציון? 8 מה ההסתברות שתלמיד אקראי שניבחר בכיתה יכשל? f 0.08 n = 5 = הסתברות למאורע משלים : p( A) = 1 P( A) למשל, בדוגמה הקודמת הסיכוי לעבור את הבחינה יכול להיות מחושב לפי הסיכוי להיכשל : 3 p( A ) = 1 = 5 5

75 א. תרגילים: מהאותיות F E, ו- G יוצרים מילה בת אותיות לא בהכרח בת משמעות. הרכב את כל המילים האפשריות. רשום את המקרים למאורע: -A -B במילה נמצאת האות E. במילה האותיות שונות. ג. רשום את המקרים למאורע. A.1. מטילים זוג קוביות. א. רשום את מרחב המדגם של הניסוי. האם המרחב מדגם הוא אחיד? רשום את כל האפשרויות למאורעות הבאים: A- סכום התוצאות 7. C- מכפלת התוצאות 1. ג. חשב את הסיכויים למאורעות שהוגדרו בסעיף 3. בוחרים באקראי ספרה מבין הספרות 0-9. א. מה ההסברות שהספרה שנבחרה גדולה מ- 5? מה ההסתברות שהספרה שנבחרה היא לכל היותר 3? ג. מה ההסתברות שהספרה שנבחרה היא אי זוגית? 4. להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה שנספרו עבור כל משפחה בישוב מסוים: מספר משפחות 8 18 10 מספר מקלטים 0 1 3 4 נבחרה משפחה באקראי מהישו מה ההסתברות שאין מקלטים למשפחה? א. מה ההסתברות שיש מקלטים למשפחה? מה ההסתברות שיש לפחות 3 מקלטים למשפחה? ג.

76 להלן התפלגות מספר המכוניות למשפחה ביישוב "עדן" : מספר משפחות מספר מכוניות 0 0 1 40 100 3 30 4 10.5 נבחרה משפחה אקראית מן הישו א. מה ההסתברות שאין לה מכוניות? מה ההסתברות שבבעלות המשפחה לפחות 3 מכוניות? ג. מה הסיכוי שבבעלותה פחות מ- 3 מכוניות?.6 ג. ד. מטילים מטבע רגיל 3 פעמים. בצד אחד של המטבע מוטבע עץ ובצד השני פלי. א. רשום את מרחב המדגם של הניסוי. האם המרחב מדגם הוא אחיד? רשום את כל האפשרויות למאורעות הבאים: A- התקבל פעם אחת עץ. D -התקבל לפחות פלי אחד. מהו המאורע המשלים ל D. חשבו את הסיכויים למאורעות שהוגדרו בסעיפים ב- ג.

77 פתרונות: שאלה ג. הסיכוי ל- A : הסיכוי ל- B : 1 6 1 9 שאלה 3 0.4 א. 0.4 0.5 ג. שאלה 4 0. א. 0.78 0.3 ג.

78 פרק - 16 פעולות בין מאורעות (חיתוך ואיחוד), מאורעות זרים ומכילים רקע: פעולת חיתוך : נותנת את המשותף בין המאורעות הנחתכים, חיתוך בין המאורע A למאורע B יסומן כך : A B מדובר בתוצאות שנמצאות ב- A וגם ב- B. Ω B = A = {5, 6} {, 4, 6} A B = : {6} בהטלת קובייה, למשל, לקבל לפחות 5 לקבל תוצאה זוגית : פעולת איחוד : A נותנת את כל האפשריות שנמצאות לפחות באחת מהמאורעות. הסימון הוא: B נותנת את Ω אשר נימצא ב- A או B. כלומר, לפחות אחד מהמאורעות קורה. A B = B = {, 4, 5, 6} A = {5, 6} {, 4, 6} : בהטלת קובייה, למשל, לקבל לפחות 5 לקבל תוצאה זוגית :

79 דוגמה ) הפתרון נמצא בהקלטה ( סטודנט ניגש בסמסטר לשני מבחנים. מבחן בסטטיסטיקה ומבחן בכלכלה. ההסתברות שלו לעבור את המבחן בסטטיסטיקה הוא 0.9. ההסתברות שלו לעבור את המבחן בכלכלה הוא 0.8. ההסתברות לעבור את המבחן בסטטיסטיקה ובכלכלה היא 0.75. א. ג. מה ההסתברות שלו לעבור את המבחן בסטטיסטיקה בלבד? מה ההסתברות שלו להיכשל בשני המבחנים? מה ההסתברות לעבור לפחות מבחן אחד? p ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) P ( A B ) נוסחת החיבור לשני מאורעות : Ω חוקי דה מורגן לשני מאורעות: A B= A B A B= A B P( A B) = 1 P( A B) P( A B) = 1 P( A B)

80 שיטת ריבוע הקסם: השיטה רלבנטית רק אם יש שני מאורעות במקביל בדומה לתרגיל הקודם : A A B P( A B) P( A B) P (B) B P( A B ) P( A B ) P (B ) P ( A ) P (A) 1 מאורעות זרים : מאורעות שאין להם מהמשותף: לא יכולים להתרחש בו זמנית. Ω A B = {} P( A B) = 0 P( A B) = P( A) + P( B) A = {5, 6} B = {3} A B = {} : למשל, בהטלת קובייה לקבל לפחות 5 לקבל : 3

81 מאורעות מכילים : Ω A B = B A B = A מאורע A מכיל את מאורע B כל התוצאות שנמצאות ב- B מוכלות בתוך המאורע- A. B קשר זה מסומן באופן הבא: A P( A B) = P( B) P( A B) = P( A) A= {, 4, 6} B = {, 4} למשל:

8 תרגילים: מהאותיות F,E נגדיר את המאורעות הבאים : -E -F במילה נמצאת האות E. במילה אותיות שונות. ו- G יוצרים מילה בת אותיות לא בהכרח בת משמעות. א. רשום את כל האפשרויות לחיתוך A עם B. רשום את כל האפשרויות לאיחוד של A עם B..1 תלמיד ניגש בסמסטר לשני מבחנים מבחן בכלכלה ומבחן בסטטיסטיקה. נגדיר את המאורעות הבאים: A- לעבור את המבחן בסטטיסטיקה. -B לעבור את המבחן בכלכלה. העזר בפעולות חיתוך, איחוד ומשלים בלבד כדי להגדיר את המאורעות הבאים וסמן בדיאגראמת וון את השטח המתאים : א. ג. ד. ה. ו. התלמיד עבר רק את המבחן בכלכלה. התלמיד עבר רק את המבחן בסטטיסטיקה. התלמיד עבר את שני המבחנים. התלמיד עבר לפחות מבחן אחד. התלמיד נכשל בשני המבחנים. התלמיד נכשל בכלכלה.. נתבקשתם לבחור ספרה באקראי. נגדיר את A להיות הספרה שנבחרה היא זוגית. נגדיר את B להיות הספרה שנבחרה קטנה מ- 5. א. רשמו את כל התוצאות למאורעות הבאים: A= B= B= A B= A B= חשבו את ההסתברויות לכל המאורעות מהסעיף הקודם..3

83.A.4 נסמן ב- Ω את מרחב המדגם וב- φ קבוצה ריקה. נתון כי A הינו מאורע בתוך מרחב המדגם. להלן מוגדרים מאורעות שפתרונם הוא Ω או φאו קבע עבור כל מאורע מה הפתרון שלו. = A A φ A φ A Ω A Ω A A φ A A 5. הוגדרו המאורעות הבאים: A= אדם שגובהו מעל 1.7 מטר B =אדם גובהו מתחת ל- 1.8 מטר קבע את גובהם של האנשים הבאים: A א. B A B A ג. B A ד. B ה. A

84 נגדיר את המאורעות הבאים: A- אדם דובר עברית. B- אדם דובר ערבית. C- אדם דובר אנגלית. השתמש בפעולות איחוד, חיתוך והשלמה לתיאור המאורעות הבאים: א. אדם דובר את כל שלוש השפות. אדם דובר רק עברית. ג. אדם דובר לפחות שפה אחת מתוך השפות הללו. ד. אדם אינו דובר אנגלית. ה. קבוצת התלמידים דוברי שפות בדיוק (מהשפות הנ"ל)..6 שתי מפלגות רצות לכנסת הבאה. מפלגת "גדר" תעבור את אחוז החסימה בהסתברות של 0.08. מפלגת עתיד תעבור את אחוז החסימה בהסתברות של 0.0. בהסתברות של 76% שתי המפלגות לא תעבורנה את אחוז החסימה. א. מה ההסתברות שלפחות אחת מהמפלגות תעבור את אחוז החסימה? מה ההסתברות ששתי המפלגות תעבורנה את אחוז החסימה? מה ההסתברות שרק מפלגות "עתיד" תעבור את אחוז החסימה? ג..7 במקום עבודה מסוים 40% מהעובדים הם גברים. כמו כן מהעובדים הינן נשים אקדמאיות. 0% מהעובדים הם אקדמאים. 10%.8 א. ג. איזה אחוז מהעובדים הם גברים אקדמאיים? איזה אחוז מהעובדים הם גברים או אקדמאיים? איזה אחוז מהעובדים הם נשים לא אקדמאיות? הסיכוי של מניה A לעלות הנו 0.5 ביום מסוים והסיכוי של מניה B לעלות ביום מסוים הנו 0.4. בסיכוי של 0.7 לפחות אחת מהמניות תעלה ביום מסוים. חשב את ההסתברויות הבאות לגבי שתי המניות הללו ביום מסוים : א. ששתי המניות תעלנה. שאף אחת מהמניות לא תעלנה. ג. שמניה A בלבד תעלה..9

85 מטילים זוג קוביות אדומה ושחורה. נגדיר את המאורעות הבאים: A -בקובייה האדומה התקבלה התוצאה 4 ובשחורה. B- סכום התוצאות משתי הקוביות 6. C- מכפלת התוצאות בשתי הקוביות 10. א. האם A ו- B מאורעות זרים? ג. ד. האם המאורע B מכיל את המאורע A? האם A ו- C מאורעות זרים? האם A ו- C מאורעות משלימים?.10 עבור המאורעות A p( B ) = 0.3 p( A ) = 0.6 א. ו- B ידועות ההסתברויות הבאות: p( A B) = 0.1 מB האם A ו- אורעות זרים?.11 p( A (B חשב את 1. מטבע הוטל פעמיים. נגדיר את המאורעות הבאים: A- קיבלנו עץ בהטלה הראשונה. B- קיבלנו לפחות עץ אחד בשתי ההטלות. איזו טענה נכונה? א. A ו- B מאורעות זרים. A ו- B מאורעות משלימים. ג. B מכיל את A. ד. A מכיל את B.. 13 בהגרלה חולקו 100 כרטיסים על 3 מהם רשום חופשה ועל מהם רשום מחשב שאר הכרטיסים ריקים. אדם קיבל כרטיס אקראי. א. מה הסיכוי לזכות בחופשה או במחשב? האם המאורעות הללו זרים? מה ההסתברות לא לזכות בפרס?

86.14 P( A) = 0.3 P( B) = 0.5 P( A B) = 0.49 א. P( A B) חשב את הסיכוי ל - האם Aו- Bמאורעות זרים? ג. מה ההסתברות שרק Aיקרה או רק Bיקרה? P( B A) = P( A B) = P( A (B : זרים. נתון ש Bמאורעות Aו- 15. מה הסיכוי למאורע Aומה ההסתברות למאורע B? קבע אילו מהטענות הבאות נכונות: A B= B א. A.16 A B= A B A B C= A B ( C B) A B C= A B C ג. ד. P(B)=0. נתון ש A א. ו- B מאורעות במרחב מדגם. נתון ש P(A)=0.3 ו-? p( A האם יתכן ש- 0.4 = (B? p( A B) האם יתכן ש -0.6=? p( A (B זרים מה הסיכוי B? p( A B) Aו- ג. ד. אם אם Aמכיל את Bמה הסיכוי.17

87 מתוך אזרחי המדינה הבוגרים ל- 30% חשבון בבנק הפועלים. ל 8% חשבון בבנק לאומי ול- 15% חשבון בבנק מזרחי. כמו כן נתון כי 6% מחזיקים חשבון בבנק לאומי ובבנק הפועלים. ל- 5% חשבון בבנק פועלים ומזרחי. ול- 4% חשבון בבנק לאומי ומזרחי. כמו כן ל- 1% מהאוכלוסייה הבוגרת חשבון בנק בשלושת הבנקים יחד. א. מה אחוז האזרחים להם חשבון בבנק לאומי בלבד? מה ההסתברות שאזרח כלשהו יחזיק חשבון בבנק פועלים ולאומי אבל לא בבנק מזרחי? ג. מה ההסתברות שלאזרח יהיה חשבון בפועלים או במזרחי אבל לא בבנק לאומי? ד. מה אחוז האזרחים שיש להם חשבון בנק אחד בלבד? ה. מה אחוז האזרחים שיש להם בדיוק חשבון בשני בנקים בלבד? מה ההסתברות שלאזרח בוגר אין חשבון בנק באף אחד מהבנקים הללו? ו. לאיזה אחוז מהאזרחים יש חשבון בנק בלפחות אחד מהבנקים הללו? ז..18 א. ג. חברה מסוימת פרסמה את הנתונים הבאים לגבי האזרחים מעל גיל 1. הנתונים שהתקבלו היו: 40% מהאנשים מחזיקים כרטיס "ויזה", 5% מחזיקים כרטיס "ישראכרט", 0% מחזיקים כרטיס "אמריקן אקספרס", 15% מחזיקים כרטיס ויזה וגם ישראכרט, 8% מחזיקים כרטיס ישראכרט וגם אמריקן אקספרס ו- 7% מחזיקים כרטיס ויזה וגם אמריקן אקספרס. כמו כן, 13% לא מחזיקים באף אחד מה אחוז מחזיקי שלושת כרטיס האשראי גם יחד? מה אחוז מחזיקי ישראכרט וויזה אך לא את אמריקן אקספרס? מה אחוז מחזיקי כרטיס אחד בלבד? משלושת הכרטיסים הנ"ל..19 p( A B) = 1 P( A) P( B) + P( A B).0 הוכח : A ו- B מאורעות במרחב המדגם האם נכון לומר שהסיכוי שיתרחש בדיוק מאורע אחד הוא: P( A) + P( B) P( A B).1

88 שאלה 7 א. 0.4 0.04 ג. 0.16 שאלה 8 א. 10% 50% ג. 50% שאלה 9 א. 0. 0.3 ג. 0.3 שאלה 10 א. לא. כן. ג. כן. ד. לא. שאלה 11 א. כן 0.3 שאלה 1 התשובה הנכונה ג שאלה 13 א. 0.05 0.95 שאלה 14 א. 0.06 לא זרים ג. 0.43 שאלה 18 א. 0.19 0.05 ג. 0.31 ד. 0.46 ה. 0.1 ו. 0.41 ז. 0.59 פתרונות:

89 פרק - 17 קומבינטוריקה - כלל המכפלה רקע: כלל המכפלה: כלל המכפלה הוא כלל שבאמצעותו אפשר לחשב את גודל המאורע או גודלו של מרחב המדגם. אם לתהליך יש אפשרויות לשלב n 1 k שלבים : אפשריות לשלב הראשון, n אפשרויות לשלב השני... n k :k מספר האפשרויות לתהליך כולו יהיה : n1 n n3 nk למשל, כמה אפשרויות יש למשחק בו מטילים קובייה וגם מטבע? ) הסבר בהקלטה) למשל, כמה לוחיות רישוי בני 5 תווים ניתן ליצור כאשר התו הראשון הוא אות אנגלי והיתר ספרות? (הסבר בהקלטה)

90 תרגילים: חשבו את מספר האפשרויות לתהליכים הבאים: הטלת קובייה פעמים. א. מספר תלת ספרתי. בחירת בן ובת מכתה שיש בה שבעה בנים ועשר בנות. ג. חלוקת שני פרסים שונים לעשרה אנשים שונים כאשר אדם לא יכול לקבל יותר ד. מפרס אחד..1 במסעדה מציעים ארוחה עסקית. בארוחה עסקית יש לבחור מנה ראשונה, מנה עיקרית ושתייה. האופציות למנה ראשונה הן: סלט ירקות, סלט אנטיפסטי ומרק היום. האופציות למנה עיקרית הן: סטייק אנטרקוט, חזה עוף בגריל, לזניה בשרית ולזניה צמחונית. האופציות לשתייה הן: קפה, תה ולימונדה. א. כמה ארוחות שונות ניתן להרכיב בעזרת התפריט הזה? אדם מזמין ארוחה אקראית. חשב את ההסתברויות הבאות: 1. בארוחה סלט ירקות, לזניה בשרית ולימונדה.. בארוחה סלט, לזניה ותה.. בוחרים באקראי מספר בין חמש ספרות. חשבו את ההסתברויות הבאות : המספר הוא זוגי. א. במספר כל הספרות שונות. במספר כל הספרות זהות. ג. במספר לפחות שתי ספרות שונות. ד. במספר לפחות שתי ספרות זהות. ה. המספר הוא פלינדרום (מספר הנקרא מימין ומשמאל באותה צורה). ו..3 חמישה אנשים אקראיים נכנסו למעלית בבנין בן 8 קומות. חשבו את ההסתברויות הבאות: א. כולם ירדו בקומה החמישית? כולם ירדו באותה קומה? ג. כולם ירדו בקומה אחרת? ד. ערן ודני ירדו בקומה השישית והיתר בשאר הקומות?.4

91 5. במפלגה חמישה עשר חברי כנסת. יש לבחור שלושה חברי כנסת לשלושה תפקידים שונים. בכמה דרכים ניתן לחלק את התפקידים אם: א. חבר כנסת יכול למלא יותר מתפקיד אחד. חבר כנסת לא יכול למלא יותר מתפקיד אחד. 6. מטילים קובייה 4 פעמים. א. מה ההסתברות שכל התוצאות תהינה זהות? מה ההסתברות של התוצאות תהינה שונות? ג. מה ההסתברות שלפחות שתי תוצאות תהינה זהות? ד. מה ההסתברות שלפחות שתי תוצאות תהינה שונות? יש ליצור מילה בת חמש אותיות לא בהכרח עם משמעות מאותיות ה- (6 ABC אותיות) בת 5 אותיות. א. ג. ד. מה ההסתברות שבמילה שנוצרה אין האותיות,A D מה ההסתברות שבמילה שנוצרה כל האותיות זהות? ו L? מה ההסתברות שבמילה שנוצרה לפחות שתי אותיות שונות זו מזו? מה ההסתברות שהמילה היא פלינדרום ) מילה אשר משמאל לימין, ומימין לשמאל נקראת אותו הדבר)..7 יוצרים קוד עםaספרות ) מותר לחזור על אותה ספרה בקוד). חשבו את ההסתברויות הבאות: (בטאו את תשובותיכם באמצעות ( a.8 א. ג. בקוד אין את הספרה 5. בקוד מופיעה הספרה 3. בקוד לא מופיעות ספרות אי זוגיות. במשחק מזל יש למלא טופס בוnמשבצות. כל משבצת מסומנת בסימון בכמה דרכים שונות ניתן למלא את טופס משחק המזל? X. בסימון Vאו.9